Neue Ansätze für die mehrdimensionale Konvexifizierung inelastischer Variationsmodelle für Bruchphänomene

PI: Prof. Dr. Daniel Peterseim

Die Modellierung und Simulation von Schädigung ist von grundlegendem ingenieurwissenschaftlichen Interesse. Auf der Makroskala äußern sich Schädigungen durch Stress- und Strain-Softening Effekte sowie Bruch in Folge von Rissausbreitung. Bei Erreichen bestimmter mikroskopischer Schädigungsgrade stoßen klassische Kontinuumsschädigungsmodelle auf einen Verlust der Konvexität der zugehörigen inkrementellen Variationsformulierung, was ihre Anwendbarkeit grundlegend einschränkt.
Relaxationssansätze, die auf Konvexifizierung basieren, liefern Modelle welche netzunabhängige Lösungen garantieren und homogenisierte Mikrostrukturen beschreiben. Obwohl in jüngster Zeit bedeutende Fortschritte in Bezug auf effiziente numerische Konvexifizierungsverfahren gemacht wurden, sind Berechnungen für komplexe Strukturen in drei Dimensionen derzeit nicht praktikabel. Eines der Hauptziele in diesem Forschungsprojekt ist es daher, Offline- und Online-Lernstrategien zu nutzen, um relevante Computersimulationen mit relaxierten Schädigungsmodellen zu ermöglichen. Darüber hinaus stellen neuartige Konvexifizierungssansätze, die auf PDE-Formulierungen oder Polykonvexifizierung beruhen, vielversprechende Alternativen für relaxierte Modelle dar. Die mit diesen Ansätzen verbesserte Effizienz und erwartbare Simulationsbeschleunigung wird für komplexere mechanische Probleme einschließlich sprödem und duktilem Materialversagen im Sinne einer makroskopischen Rissausbreitung erforderlich sein, bei denen Lernstrategien alleine an ihre Grenzen stoßen. Daher ist das letzte Hauptziel dieses Forschungsprojekts, die inkrementellen Variationsformulierungen so zu erweitern, dass plastische Effekte in Kombination mit Schädigung für spröde und duktile Bruchprobleme erfassbar werden.

Projekt-Partner: Prof. Dr. Malte A. Peter (Universität Augsburg)

Projekt-Partner: Prof. Dr.-Ing. habil. Daniel Balzani (Ruhr Universität Bochum)

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Autonome Forschung zur Exploration von Struktur-Eigenschafts-Beziehungen und Optimierung von Mikrostrukturen

PI: Prof. Dr. Daniel Peterseim

Die Entwicklung neuer Materialien spielt eine wichtige Rolle für technologische Innovationen. Im Zentrum des Interesses steht dabei der Zusammenhang zwischen den Prozessparametern, der lokalen Materialstruktur und den resultierenden Eigenschaften. Da der lokale Aufbau der Materialien ihre Eigenschaften wesentlich diktiert, sind die Bereitstellung und das Verständnis von Struktur-Eigenschafts-Beziehungen (SEB) von großer Bedeutung. Das Projekt verfolgt das Ziel, zuverlässige SEB schnell und kostengünstig aufzustellen und damit realistische, herstellbare Materialstrukturen mit optimalen Eigenschaften zu identifizieren.
Die experimentelle Exploration der SEB verursacht einen erheblichen technologischen Aufwand. Die erreichbare begrenzte Datengrundlage stellt ein großes Hindernis für die Anwendung moderner Methoden des Maschinellen Lernens dar. Modellbasierte numerische Simulationen schaffen hier in Form synthetischer Daten Abhilfe. Ein praktisch relevanter Algorithmus erfordert darüber hinaus die automatisierte Generierung synthetischer Mikrostrukturen und die Durchführung numerischer Simulationen an ausgewählten Stichproben, um die experimentelle Datengrundlage gezielt zu erweitern. Dieses als autonome Forschung bezeichnete Verfahren wird in vier Schritten materialunabhängig entwickelt, implementiert und validiert. Insgesamt verspricht die Synthese von modellbasierter numerischer Simulation und datengetriebenen Algorithmen ein tieferes Verständnis der Wirkmechanismen, die den SEB zugrunde liegen, sowie eine Beschleunigung der Materialentwicklung.

Projekt-Partner: Prof. Dr.-Ing. habil. Markus Kästner (TU Dresden)

Entkoppelnde numerische Methoden höherer Ordnung für poroelastische Netzwerke

PI: Dr. Robert Altmann

Poroelastische Gleichungen spielen eine zentrale Rolle in zahlreichen Anwendungsfeldern wie der Geomechanik oder der Biomedizin. Das dazugehörige Modell wird beschrieben durch ein gekoppeltes System elliptisch-parabolischer Differentialgleichungen, welches gerade im drei-dimensionalen Fall sehr rechenintensiv ist. Die direkte Anwendung von Standardmethoden bildet daher selbst für moderne Rechner eine große Herausforderung. Dieses Projekt hat das Ziel, neuartige und hoch effiziente Zeitdiskretisierungsverfahren höherer Ordnung zu entwickeln und somit die numerische Approximation zu erleichtern. Dabei soll die Einfachheit monolithischer Ansätze mit der Geschwindigkeit iterativer Verfahren, die das Problem in den elliptischen und parabolischen Teil entkoppeln, kombiniert werden. Da die Ortsdiskretizierung poroelastischer Gleichungen auf eine Differential-Algebraische Gleichung führt, stellt die erforderliche Konvergenzanalyse ein herausforderndes Unternehmen dar. Die neu entwickelten Verfahren sind semi-explizit und erweitern einen kürzlich vorgestellten Ansatz. Die Konvergenzanalyse basiert auf der Interpretation der semi-expliziten Diskretisierung als implizite Diskretisierung einer verwandten Gleichung mit zeitverzögertem Term.

Projektpartner: Dr. Benjamin Unger (U Stuttgart)

Numerische Multiskalenmethoden zur inversen Schätzung der effektiven Eigenschaften poroelastischer Gewebe

PI: Prof. Dr. Daniel Peterseim

Die Magnetresonanz-Elastographie (MRE) ist ein medizinisches Bildgebungsverfahren zur Identifizierung mechanischer Gewebsveränderungen durch die Messung der Ausbreitung von Scher-und Kompressionswellen. Diese Technik kann nicht-invasiv und in vivo zur Diagnose und Überwachung von Gewebeerkrankungen
wie Krebs und Fibrose eingesetzt werden. Leider sind Elastographiedaten nur auf einer relativ groben räumlichen Skala (in der Größenordnung von Millimetern) verfügbar. In vielen Anwendungen ist man jedoch an
mikrostrukturellen Eigenschaften des Gewebes oder dem interstitiellen Gewebedruck interessiert. Um die nicht-invasive Diagnostik in diesem Bereich voran zu bringen, entwickelt das Projekt neuartige von MRE-Daten getriebene, mathematische und rechnergestützte Modelle zur Charakterisierung mehrskaliger Eigenschaften von biphasischen/vaskularisierten Weichgeweben. Die enge Zusammenarbeit mit den radiologischen Abteilungen der
Charite-Universitätsmedizin Berlin und des Universitätsklinikums Augsburg ermöglicht die Validierung der entwickelten Modelle um die angestrebte klinische Relevanz des Projekts zu gewährleisten.

Projektpartner: Dr. Alfonso Caiazzo (WIAS Berlin)

Externe Partner: Charite-Universitätsmedizin Berlin/Universitätsklinikum Augsburg

Konvexifizierte Variationsformulierungen bei großen Deformationen basierend auf homogenisierten, geschädigten Mikrostrukturen

PI: Prof. Dr. Daniel Peterseim

Viele weiche Materialien wie Elastomere, verstärkte Polymere und weiches biologisches Gewebe zeigen unter großen Verformungen anisotrope Entfestigungseffekte. Neben komplexer Spannungs-Dehnungs-Hysterese bei zyklischer Belastung, die mit Spannungs-Entfestigung einhergehen, ist signifikante Dehnungs-Entfestigung im Sinne von kleiner werdenden Spannungen bei steigender Dehnung ein wesentlicher Effekt in aktuellen Fragestellungen des Materialdesigns. Wesentliche Beispiele sind die Delamination oder der Faserauszug in verstärkten Materialien. Die Entfestigungseffekte haben ihren Ursprung in einer Nukleation und Entwicklung von Hohlräumen auf der Mikroskala, die geschädigte Mikrostrukturen darstellen. Das resultierende makroskopische Verhalten kann im Rahmen klassischer Schädigungs-Kontinuumstheorie phänomenologisch durch interne Variablen dargestellt werden, die den reduzierten Materialquerschnitt abbilden. Ab einer bestimmten Stärke der mikrokopischen Schädigung werden die zugehörigen inkrementellen Modelle allerdings nicht-konvex, was wesentliche Probleme in der Verwendbarkeit und insbesondere in der numerischen Auswertung mit sich bringt.

Der Fokus dieses Forschungsprojekts ist die Aufstellung und Implementierung neuer konvexifizierter inkrementeller Variationsformulierungen, die a priori numerisch stabil sind. Die Konvexifizierungen nutzen homogenisierte Materialbeschreibungen der mikroskopischen Schädigungsphänomene. Der Konvexifizierungsprozess erlaubt eine direkte Interpretation als Evolution von Schädigung der Mikrostruktur und die Modelle sind automatisch numerisch gutmütig, z.B. erlauben sie gitterunabhängige Lösungen. Die Hauptziele sind die Berücksichtigung von Dehnungs-Entfestigungs-Effekten im variationellen Schädigungsmodell.

Projekt-Partner: Prof. Dr. Malte A. Peter (Universität Augsburg)

Projekt-Partner: Prof. Dr.-Ing. habil. Daniel Balzani (Ruhr Universität Bochum)

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Computational Random Multiscale Problems

PI: Prof. Dr. Daniel Peterseim

Computersimulationen spielen längst eine zentrale Rolle für den wissenschaftlichen und technologischen Fortschritt. Sie sind nicht nur die Grundlage für die Weiterentwicklung von Hochleistungsmaterialien (wie bsw. Faserverbundwerkstoffe, die  herkömmliche Werkstoffe wie Stahl oder Aluminium in weiten Teilen der Produktentwicklung ersetzen), sie gestatten auch die Erkundung neuer physikalischer Phänomene für Hightech-Produkte der Zukunft, die experimentell bisher nur schwer zugänglich sind (bsw. eigentümliche Aggregatzustände wie Bose-Einstein-Kondensate mit Anwendungen in futuristischen Technologien wie Atomlasern oder Quantencomputern). Allerdings sind die der Simulation zu Grunde liegenden mathematischen Modelle, wie auch die physikalischen Prozesse selbst, durch komplexe Effekte auf einer Vielzahl von Längen- und Zeitskalen gekennzeichnet. Der Versuch, diese inhärente Mehrskaligkeit in Standard-Computermodellen abzubilden, führt selbst modernste Supercomputer an ihre Grenzen. Die Simulation solcher Phänomene erfordert daher eine neue Generation von Algorithmen (sogenannter numerischer Mehrskalenmethoden), die mit hierarchischen und adaptiven Lösungsstrategien die komplexen mathematischen Modelle auf ein berechenbares und wirtschaftliches Maß reduzieren, ohne ihre Aussagekraft wesentlich zu beeinträchtigen.

Das Projekt Computational Random Multiscale Problems widmet sich dem Design solcher Algorithmen/Mehrskalenmethoden und ihrer mathematischen Erforschung. Zu den Zielen zählen beispielsweise die Entwicklung effizienter und zuverlässiger Simulationsmethoden für Wellenphänomene und Quantenphasenübergänge in zufälligen und ungeordneten Medien, sowie die Beantwortung damit einhergehender fundamentaler mathematischer und algorithmischer Fragen an den Schnittstellen von Numerischer Mathematik, Unsicherheitsquantifizierung und Numerischer Physik.

Informationsdienst der Gemeinschaft für Forschung und Entwicklung (CORDIS) der Europäischen Kommission

Entkoppelte numerische Methoden für nichtlineare parabolische Probleme mit dynamischen Randbedingungen

PI: Dr. Robert Altmann

Ziel des Projekts ist die Konstruktion, Analyse und Implementierung robuster numerischer Verfahren für nichtlineare parabolische Anfangswertprobleme mit dynamischen Randbedingungen. Solche Systeme treten in Anwendungen auf bei denen das Verhalten am Rand in besonderer Weise widergespiegelt werden muss. Grundlage für die Entwicklung neuer Verfahren ist die Umformulierung des Problems in Form einer partiell-differential-algebraischen Gleichung (PDAE). Dabei werden Gebiets- und Randdynamik zusammen als gekoppeltes System betrachtet, die mithilfe eines Lagrange Multiplikators verknüpft werden. Basierend auf so einer PDAE Formulierung ist es nun möglich, numerisch robuste Diskretisierungsverfahren zu konstruieren. Für die Stabilität der Ortsdiskretisierung sind sogenannte gemischte Methoden nötig, wohingegen für die Stabilität in der Zeit bekannte Techniken aus dem Bereich differential- algebraischer Gleichungen angewandt werden. Im Gegensatz zur ursprünglichen Problemformulierung wird die Kopplung aus Gebiets- und Randdynamik hier nicht im Ansatzraum integriert sondern in Form einer zusätzlichen Systemgleichung explizit erzwungen. Diese formale Entkopplung bietet zusätzliche Freiheiten bei der Wahl der Ansatzräume für die Ortsdiskretisierung. Insbesondere können die Triangulierungen des Gebiets und des Randes unabhängig gewählt werden, was gerade bei heterogenen Problemen Vorteile bietet. Das zweite Ziel des Projekts ist die Entwicklung von Splitting Verfahren für den numerischen Umgang mit auftretenden Nichtlinearitäten sowie der Entkopplung von Gebiets- und Randdynamik.

Adaptive isogeometrische Modellierung von Diskontinuitäten in komplex berandeten heterogenen Festkörpern

PI: Prof. Dr. Daniel Peterseim

Bei der Entwicklung innovativer Produkte kommen neuartige Leichtbaustrukturen mit einer ausgeprägten Mikrostruktur zum Einsatz. Die zuverlässige rechnerische Auslegung dieser Komponenten erfordert das physikalische Verständnis und vor allem die numerische Modellierung von Rissphänomenen. Simulationstechniken müssen dabei sowohl das Versagen von Grenzflächen und einzelnen Materialphasen sowie deren Zusammenspiel berücksichtigen. Darüber hinaus muss die dreidimensionale Natur des Problems erfasst werden, um realistische Vorhersagen des Materialverhaltens auf der Basis von Simulationen zu ermöglichen. Zu diesem Zweck entwickeln wir neue numerische Modelle und Methoden auf der Grundlage adaptiver Spline-basierter Diskretisierungsverfahren der Isogeometrischen Analysis (IGA) sowie von Phasenfeldmodellen des Rissfortschritts. Die Hauptziele des Projekts stehen in engem Zusammenhang mit zentralen Herausforderungen an der Schnittstelle von Numerischer Mathematik und Mechanik. Hierzu zählen die Darstellung und adaptive Verfeinerung unstrukturierter Spline-Oberfächen, die Kopplung solcher Spline-Flächen mit strukturierten Volumengittern, die Regularisierung heterogener Materialien sowie die rigorose mathematische Fehleranalyse und -kontrolle in relevanten Diskretisierungsregimen.

Projekt-Partner: Prof. Dr.-Ing. habil. Markus Kästner (TU Dresden)

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