Mögliche Themen für Abschlußarbeiten (Bachelor, Master, Staatsexamen) in Bereich von Algebra, Geometrie und Zahlentheorie

Themengebiete für Abschluß-Arbeiten (Prof. Hien)

• Kryptographie mit elliptischen Kurven:
  Grundlagen zu elliptischen Kryptosystemen, Angriffsmöglichkeiten, ...
• Algebraische Zahlentheorie:
  die Klassenzahl von Zahlkörpern, Bewertungstheorie, ...
• Algebraische Geometrie:
  Kurven über endlichen Körpern, Kohomologische Methoden, ...
• Algebraische Analysis:
  lineare Differentialoperatoren unter algebraischen Aspekten, ...
• Themen aus anderen Gebieten, z.B. der Topologie.

Themengebiete für Abschluß-Arbeiten (Prof. Nieper-Wißkirchen)

Beispiele für Themenstellungen in den einzelnen Gebieten (Erläuterungen zu diesen Themen und weitere mögliche Themen können jederzeit in einem persönlichen Gespräch besprochen werden):

• Algebraische Geometrie:
  • "Das Hilbertschema von Punkten auf einer Varietät: Welche Konfigurationen können n Punkte auf einer Varietät annehmen? Was passiert, wenn diese Punkte zusammenstoßen?"
  • "Der étale Situs: Wie können wir die Zariskische Topologie einer Varietät verfeinern? Was sieht der lokale Umkehrsatz in der algebraischen Geometrie aus?"
• Klassische Algebra:
  • "Die Galoissche Gruppe einer Gleichung vom Grade 4."
  • "Das inverse Problem der Galoisschen Theorie: Welche Galoisschen Gruppen treten bei Polynomen über Q auf?"
  • "Wittsche Vektoren: Was haben Wittsche Vektoren mit Lambda-Ringen und dem Körper mit einem Element zu tun?"
  • "Liesche Algebren: Wie lassen sich halbeinfache Liesche Algebren klassifizieren? Was ist eine eingeschränkte Liesche Algebra?"
• Abstrakte Algebra:
  • "Operaden: Was ist eine Operade? Wie werden mit Operaden einheitlich verschiedene Typen von Algebren wie assoziative, kommutative und Liesche Algebren modelliert?"
• Grundlagen der Mathematik:
  • "Mengenlehre und Kategorientheorie: Warum scheint die Kategorientheorie so viel Wert auf ihr mengentheoretisches Fundament zu legen?"
  • "Intuistionistische Logik: Wie unterscheidet sich die intuistionistische Logik von ihrem klassischen Pendent? Inwiefern umfaßt sie die klassiche Logik? Warum taucht sie beim Studium von Garben auch in klassischer Logik zwangsläufig auf?"
• Konstruktive Mathematik:
  • "Konstruktive Version des Fundamentalsatzes der Algebra: Wie lassen sie die Nullstellen eines Polynoms über den komplexen Zahlen finden? Wie lassen sie Nullstellen von Polynomen über anderen Körpererweiterungen von Q, wie den p-adischen Zahlen, berechnen?"
  • "Konstruktive Galoissche Theorie: Gibt es einen Algorithmus, welcher eine Polynomgleichung auf Auflösbarkeit untersucht und im Falle der Auflösbarkeit ihre Lösungen in Termen von Radikalen angibt?"
• Kategorientheorie:
  • "Das Theorem über adjungierte Funktoren: Unter welchen Voraussetzungen besitzt ein Funktor einen adjungierten? Warum sind mengentheoretische Überlegungen hier wichtig?"
  • "Abgeleitete Kategorien und Modellkategorien: Inwiefern kann die Theorie der abgeleiteten Kategorien im Rahmen der Theorie der Modellkategorien gesehen werden?"
  • "Abelsche Kategorien: Warum läßt sich in abstrakten abelschen Kategorien häufig wie in Modulkategorien rechnen?"
• Differentialgeometrie:
  • "Synthetische Differentialgeometrie: Wie lassen sich infinitesimal kleine Größen mathematisch korrekt behandeln? Wie können wir annehmen, daß jede Abbildung automatisch differenzierbar ist?"
• Topologie:
  • "Spektralsequenzen: Wie lassen sich stabile Homotopiegruppen von Sphären mit Spektralsequenzen bestimmen?"
  • "Räume ohne Punkte: Inwiefern sind die offenen Mengen eines topologischen Raumes bessere Grundbausteine als seine Punkte? Braucht man das Auswahlaxiom in der Topologie wirklich?"
• Mathematische Physik:
  • "Klassische Feldtheorien: Wie lassen sich klassische Feldtheorien wie die der Elektrodynamik oder die allgemeine Relativitätstheorie mittels Hauptfaserbündeln geometrisch modellieren?"