Normale Schulmathematik

$$ (p_x,p_y)+(q_x,q_y)=(p_x+q_x,p_y+q_y) $$

Die Punkte einer Ellipse um den Ursprung mit den Halb­achsen $ a $ und $ b $ lassen sich mit den Koor­di­naten $ (a \cdot \cos(n_a\cdot t),b\cdot\sin(n_b\cdot t)) $ mit $ t\in [0,2\pi)\cong[0°,360°) $ beschreiben.

Die Punkte einer Ellipse um den Ursprung mit den Halb­achsen $ a $ und $ b $ lassen sich mit den Koor­di­naten $ (a \cdot \cos(n_a\cdot t),b\cdot\sin(n_b\cdot t)) $ mit $ t\in [0,2\pi)\cong[0°,360°) $ beschreiben.

Die Punkte einer Lissajous-Figur um den Ursprung mit den Halb­achsen a und b lassen sich mit den Koor­di­naten $ (a \cdot \cos(n_a\cdot t),b\cdot\sin(n_b\cdot t)) $ mit $ t\in [0,2\pi)\cong[0°,360°) $ beschreiben. Sind  $ n_a $ und  $ n_b $ ganze Zahlen, ist die Figur geschlossen. Man bedenke dabei die Möglichkeit, dass die sichtbare Kurve mehrfach durchlaufen wird!

$$ A\cdot x+B\cdot y + C =0 $$ mit $ A^2+B^2=1 $ . Setzt man in den Term $$ A\cdot x + B\cdot y + C $$ einen belie­bi­gen Punkt $ (x,y) $ ein, so lie­fert er den Abstand des Punk­tes von der Geraden.

$$ y(x) = a\cdot x^2 + b\cdot x + c $$

$$ y(x) = \frac{a}{x} + c $$

Beim 'Füllen' eines geschlos­senen Poly­gons stellt sich für jeden Bild­punkt die Frage, ob er inner­halb oder außer­halb des Poly­gons liegt; nur die inne­ren Punkte werden farbig markiert. Ein mög­licher Algo­rith­mus sagt: „Ein Punkt liegt innen, wenn jeder Weg ins Unend­liche das Poly­gon queren muss” (das Poly­gon bildet um den Punkt herum eine geschlos­sene Linie).

Der Even-Odd-Algo­rith­mus hin­gegen zählt die Schnitt­punkte eines belie­bigen, vom Punkt aus­ge­hen­den Strahls mit dem Poly­gon: ist die Anzahl gerade (engl. 'even'), liegt der Punkt außer­halb, ist sie unge­rade (engl. 'odd'), liegt er inner­halb. Dadurch kann die flächige Fül­lung eines ge­schlos­se­nen Poly­gons 'Löcher' be­kom­men, wenn sich das Poly­gon selbst schneidet.

Man definiert die imaginäre Ein­heit  $ i $ mit­tels der Eigen­schaft $ i^2=-1 $ . Objekte der Gestalt $ x+iy $ ( $ x $ , $ y $ reelle Zahlen) werden 'komplexe Zahlen' genannt. Mit $$ (x+iy)+(a+ib)=(x+a)+i(y+b) $$ und  $$ (x+iy)\cdot(a+ib)=(x\cdot a-y\cdot b)+i(y\cdot a+x\cdot b) $$ werden 'natürliche' Erwei­te­run­gen der reel­len Addi­tion bzw. Multi­pli­kation defi­niert.
Man kann die komple­xen Zahlen als Punkte einer Ebene auf­fassen: trägt man den Real­teil  $ x $ hori­zontal und den Ima­gi­när­teil $ y $ verti­kal (mit der Ein­heit $ i $ ) auf, so sieht man die Entsprechung zwischen den karte­si­schen Koor­di­naten $ (x,y) $ eines Punktes der Ebene und der kom­ple­xen Zahl $ x+iy $ . Alter­nativ kann man die gleiche Zahl in Polar­koor­di­naten schrei­ben: $$ r\cdot(\cos(\varphi)+i\cdot\sin(\varphi)) $$ Dabei ist der Betrag  $ r $ iden­tisch mit dem Wert $ \sqrt{(x^2+y^2)} $ . Das Argu­ment  $ \varphi $ ist der Winkel (im Bogen­maß, also im Bereich $ [0,2\pi) $ ) zwischen der posi­ti­ven $ x $ -Achse und dem Strahl vom Ursprung zur Zahl $ x+iy $ (analog: zum Punkt $ (x,y) $ ) gemes­sen in mathe­ma­tisch posi­ti­ver Rich­tung (Gegen­uhr­zei­ger­sinn).