Ausstellung „Mathe? — Einfach schön!” Raster-Grafik: Rationale Funktion
Das obere Bild zeigt keinen Krokodil-Rücken, sondern den Imaginärteil der komplexen rationalen Funktion
$
\frac{p}{q}
$
, deren Zähler- und Nenner-Polynome die nebenstehenden Nullstellen haben. Da der Imaginärteil einer komplex-rationalen Funktion unbeschränkt ist, die zugehörige Farb-Funktion aber das Intervall
$
[0,1]
$
abbildet, wird er u.a. mit Logarithmus und Cosinus behandelt; die Farbe sagt also nichts über den Wert des Imaginärteils aus.
Die Pole dieser Funktion (die Nullstellen des Nenners
$
q
$
) sind als Punkte ober- und unterhalb der zentralen horizontalen Linie zu erkennen. Die Nullstellen des Zählers
$
p
$
hingegen liegen auf dieser Linie und auf den geschwungenen Kurven darüber und darunter, sind aber nicht besonders gekennzeichnet.
Mathematik: Komplexe Zahlen.
Das untere Bild zeigt eine andere komplex-rationale Funktion mit fünf Nullstellen auf einem inneren Kreis ( $ q $ ) und sechs Polen im Zentrum und auf einem äußeren Kreis ( $ p $ ). Die Farbe jedes Bildpunktes repräsentiert mittels des Farbenkreises (siehe oben) das Argument des Funktionswertes, während seine Helligkeit aus dem Produkt von Arguments- und Betrags-Transformationen berechnet wird. Auf diese Weise entstehen einfarbige Linien, die aus den Nullstellen und Polen der Funktion herausführen; alle Punkte auf einer solchen Linie werden von der rationalen Funktion auf denjenigen Strahl von komplexen Zahlen abgebildet, der im Farbenkreis die gleiche Farbe wie die Linie aufweist. Folgt man hingegen einer Linie mit variierenden Farben, die um eine oder mehrere Nullstellen oder Pole herumführt, so haben diese Punkte im Bild der rationalen Funktion alle den gleichen Betrag; sie liegen auf einem gemeinsamen Ring des Farbenkreises. Diese Darstellung der Funktion liefert zwar keine exakten Werte, aber immerhin eine Vorstellung vom qualitativen Verhalten der Funktion.
Mathematik: Komplexe Zahlen.