Ausstellung „Mathe? — Einfach schön!” Rationale Funktion Polar-Darstellung
Dokumentation
Die obigen Bilder verwenden überwiegend die Funktionen $$ p(z) = \prod_{i=0..5}(z-z_i) \text{ und }q(z) = \prod_{i=6..10}(z-z_i) $$
Dabei ist der Parameter $ z $ eine komplexe Zahl, die aus den kartesischen Koordinaten eines Bildpunktes gebildet wird. Die Nullstelle $ z_0 $ des Polynoms $ p $ liegt im Ursprung; die anderen fünf mit den Indizes 1 bis 5 liegen gleichmäßig auf einem Kreis darum herum. Die Nullstellen $ z_6 $ bis $ z_{10} $ des Polynoms $ q $ liegen gleichmäßig auf einem Kreis mit halbem Radius des $ p $ -Kreises und gegen diesen um 36° gedreht.
Jeder Punkt eines Bildes wird als komplexe Zahl $ z $ aufgefasst und mit einer rationalen Funktion $ \frac{p}{q} $ oder $ \frac{q}{p} $ abgebildet auf den Wert $ f_Z $ ; dies ist ebenfalls eine komplexe Zahl. Deren Argument wird mit dem Farbenkreis in die Farbe umgerechnet, in der der Bildpunkt $ z $ gezeichnet wird. Die Helligkeit des Punktes wird mittels einer Kombination aus Betrag und Argument, jeweils transformiert mit Logarithmus, Cosinus und Exponentiation, bestimmt. Oben links wirkt nur der Betrag, oben rechts die Summe von Betrag und Argument, unten links deren Produkt und unten rechts – nicht ganz ernst gemeint – ihre Differenz. Mit dem Produkt kann man Gitterlinien der Polarkoordinaten aller $ f_Z $ erzeugen, mit der Summe hingegen eher deren Schnittpunkte hervorheben. Die Differenz sieht nur nett aus.
Als Besonderheit ist zu erwähnen, daß das Bild unten links $ \frac{p}{q} $ verwendet mit einer zusätzlichen zentralen Nullstelle. Dies kann man sogar am Bild erkennen: wenn man den Ursprung in großem Abstand umläuft, so daß alle Nullstellen und Pole innerhalb (d.h. in Laufrichtung links) dieses Weges liegen, durchläuft man den Farbenkreis zweimal in positiver Richtung: rot, gelb, grün, cyan (=türkis), blau, magenta (=lila) und wieder rot.
Allgemein sorgt jede Nullstelle innerhalb einer Kurve für einen derartigen Farb-Umlauf, und jeder Pol darin wirkt entgegengesetzt: die Farben werden in umgekehrter Richtung durchlaufen. Summiert man die Anzahl der Nullstellen und zieht die Anzahl der Pole ab, die von einer Kurve in mathematisch positiver Richtung (im Gegenuhrzeigersinn) umlaufen werden, so erhält man die Anzahl der positiven Umläufe durch den Farbenkreis auf dieser Kurve. Damit können Sie selber bestimmen, ob ein Bild $ \frac{p}{q} $ oder $ \frac{q}{p} $ zeigt.